基于格子Boltzmann方法的微气体流动速度滑移边界条件的检验

　　为研究微气体流动的速度滑移边界条件，建立适用于滑移区和过渡区的微气体流动的格子Boltzmann 模型，从气体动理学理论及Knudsen 层效应出发推导了Knudsen 数与无量纲松弛时间的关系，基于Succi 的边界处理方法和广义二阶速度滑移边界条件推导出壁面滑移速度和反弹比例系数的计算公式，并以微尺度Poiseuille 流动为例，对七类速度滑移边界条件进行研究。计算结果表明，在各个速度滑移模型下，中心线上的无量纲速度的偏差小于边界上的无量纲滑移速度的偏差。Guo 模型、Hisa 模型、Zhang 模型表现较好，其次是Hadjiconstantinou 模型，而Cercignani 模型、S chamberg 模型、Deissler 模型的表现较差。

　　近二十年来，自然科学和工程技术发展的一个重要趋势是朝着微型化迈进。微通道中的流动会出现明显不同于常规尺度下的流动现象。当微通道尺寸和分子平均自由程相当时，流体连续介质模型不再成立，此时需要放弃连续介质假设而采用细观模型或分子气体动力学的方法。对于微尺度气体动，可以根据Knudsen 数( 采用Kn 表示，定义为分子平均自由程K与流动特征长度L 的比值，即Kn=K/L ) 来表征流场非连续性的程度。采用Knudsen数可以将微尺度气体流动划分成三个区域，即滑移区域( 0.01< Kn< 0.1) 、过渡区域( 0.1< Kn< 10) 和自由分子区域( Kn > 10) 。一般，当Kn> 0.1 时，连续介质模型不复正确，要用分子描述方法。

　　根据气体动理学理论，气体分子的速度分布函数满足Boltzmann方程，该方程是一个7 维非线性积分微分方程，求解十分困难。格子Boltzmann 方法作为一种对连续Boltzmann 方程的时间、空间以及速度空间都进行离散的介观方法，近年来也被用于微尺度气体流动的模拟。格子Boltzmann 方法在微尺度气体流动方面的应用始于2002 年Nie和Lim的研究工作。Nie 的模型中在处理边界时采用无滑移边界条件中的反弹格式，Nin 采用镜面反弹和外推格式边界来模拟速度滑移，并比较了这两种格式对流场的影响,指出在较高的Knudsen 数、较大的进出口压力比的情况下，两种边界条件都与解析解存在一定的偏差。随后,Ansumali根据动理学理论的完全漫反射模型构造了格子Boltzmann 模型的离散漫反射边界条件,Tang进一步得到了一般漫反射的离散形式,Niu则提出了漫反射-散射滑移边界格式，这类边界处理格式记为DM 格式。Succi提出了另外一种边界条件，即将无滑移的反弹格式与无穷滑移的镜面反弹结合起来的混合格式，记为BSR 格式。

　　GUO对DM 格式和BSR 格式进行了详细的理论分析，指出DM 格式不能完全实现漫反射边界条件，但BSR 格式可以实现完全漫反射边界条件，并指出由于边界条件的离散效应使得数值滑移速度和物理滑移速度存在差异，且这一差异可以通过调整DM 或BSR 格式中的控制参数予以消除，对于不同的滑移速度边界条件，控制参数的取值也不相同。随着格子Boltzmann 模型的改进和发展，格子Boltzmann 方法在微尺度气体流动上的应用也逐步完善起来，并开始用于过渡区流动的模拟，其主要思想是在已有的格子Boltzmann 模型的基础上引入壁面修正函数,对Knudsen 层内的分子平均自由程进行修正，并提出有效平均自由程及有效松弛时间的概念，修正后的模型突破了滑移区的限制，对过渡区的流动进行了相应的数值模拟，但也仅是在Kn< 0.5 的情况下与DSMC 的结果吻合得比较好，对于Kn> 0.5 的流动模拟结果的误差仍比较大。GUO 建立了包含多个有效松弛时间的MRT-LBE 模型，并提出了广义二阶速度滑移边界条件，在更大的Knudsen 数范围内仍能取得了较好的模拟结果，但模型相对复杂。对于微尺度气体流动，Maxwell 一阶速度滑移边界条件的计算结果与试验数据相比，在滑移区吻合很好，在过渡区则出现显著偏离，为此很多学者尝试引入二阶速度滑移边界条件，但这些速度滑移边界条件的适用性需要进行评估。本文以二维的微尺度Poiseuille 流动为例，建立适用于滑移区和过渡区的微尺度气体流动的格子Boltzmann 模型，并对各类速度滑移边界条件的计算结果进比较，以评估其适用范围。

　　结论

　　本文首先建立了适用于滑移区和过渡区的微尺度气体流动的格子Boltzmann 模型，并将各类速度滑移边界条件进行推广，得到广义二阶速度滑移边界条件，然后以二维微尺度Poiseuille 流动问题为例,研究了各类速度滑移边界条件的适用性，研究表明在各个滑移速度模型下，中心线上的无量纲速度的偏差小于边界上的无量纲滑移速度的偏差。当Knudsen 数为0.01 时，各速度滑移模型的偏差均较小，随着Knudsen 数的增加，不同速度滑移模型下的偏差相差较大。Guo 模型、Hisa 模型、Zhang 模型表现较好，其次是Hadjiconstant inou 模型，而Cercignani模型、Schamberg 模型和Deissler 模型的表现较差。